存在聚集性跳跃时的跳跃风险溢价
作者信息
* Francis Liu∗
柏林经济与法律学院商业与经济系
柏林洪堡大学区块链研究中心
柏林洪堡大学国际研究培训小组 1792
电子邮件: francisliutfp@gmail.com
* Natalie Packham†
柏林经济与法律学院商业与经济系
柏林洪堡大学国际研究培训小组 1792
电子邮件: packham@hwr-berlin.de
* Artur Sepp‡
LGT 银行（瑞士）股份有限公司
电子邮件: artursepp@gmail.com
摘要
本文提出了一种采用双变量霍克斯过程（bivariate Hawkes process）来整合聚集性跳跃的期权定价模型。该过程能够捕捉正向和负向跳跃的自我激励与交叉激励，从而使模型能够生成具有非对称、时变偏度的回报动态，并能产生正向或负向的隐含波动率偏度。这一特性对于加密货币、所谓的“模因股票”（"meme" stocks）、G-7货币以及特定商品等资产尤为重要，因为在这些市场中，隐含波动率偏度可能会根据市场情绪的变化而改变符号。我们引入了两个额外的参数，即正向和负向跳跃风险溢价，用以模拟市场对正负跳跃的风险偏好，这些偏好可以从期权数据中推断出来。这使得模型能够灵活地匹配观测到的偏度动态。基于比特币（BTC）期权的实证研究，我们证明了推断出的跳跃风险溢价不仅对比特币期货的持有成本具有预测能力，而且对delta对冲期权策略的表现也同样具有预测能力。
JEL 分类与关键词
* JEL 分类: D81, G13
* 关键词: 波动率风险溢价，聚集性跳跃，霍克斯过程，加密货币
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1. 引言
1.1. 研究背景与问题陈述
跳跃已被公认为资产定价、衍生品定价和风险管理中的一个重要风险因素。尽管已有大量文献研究了传统金融市场中的跳跃现象，但加密货币期权市场的兴起以及散户驱动的“模因股票”期权交易活动，为这一研究领域提供了新的环境。本文聚焦于加密货币，特别是比特币（BTC）的动态及其期权市场。
在加密货币市场中，传统模型面临着独特的挑战。实证观察显示，比特币在统计测度（P测度）下既表现出大幅度的正向跳跃，也表现出大幅度的负向跳跃。而在风险中性测度（Q测度）下，期权价格所反映的隐含波动率偏度则频繁地在负偏（当保护性看跌期权需求增加时）与正偏（当对上行杠杆的需求上升时）之间切换。例如，对比特币市场的观察揭示了极端回报和波动率聚类等现象，并且看涨期权与看跌期权的偏度平均值分别为3.0%和1.7%，表明看涨期权的偏度通常更高。这种偏度符号的变化是传统模型，如具有恒定相关性参数的随机波动率模型或具有恒定跳跃强度的贝茨（Bates）模型，难以解释的。
1.2. 模型介绍与核心贡献
为了应对上述挑战，本文开发了一个创新的期权定价模型。该模型的核心是采用两个独立的霍克斯过程，分别模拟资产价格的正向跳跃和负向跳跃。这两个过程不仅能捕捉各自的“自我激励”（即一次跳跃会增加未来同向跳跃的概率），还能捕捉彼此间的“交叉激励”（即一次跳跃也会影响未来反向跳跃的概率）。
本文的核心贡献在于，通过这一框架，我们能够识别和理解驱动跳跃风险溢价变化的潜在因素。模型能够灵活地适应市场情绪的变化，当投资者从寻求对冲下行风险（购买看跌期权）转向捕捉上行潜力（购买看涨期权）时，模型可以捕捉到这种需求的转换。这对于理解那些表现出类似彩票效应（lottery-like payoffs）的资产（如加密货币和“模因股票”）尤为重要，因为在这些市场中，投资者对上行潜力的偏好往往会在牛市期间推高价外看涨期权的价格。
1.3. 实证研究与主要发现
本文使用比特币（BTC）的历史价格和期权数据进行了一项全面的实证研究。我们设计了一个两阶段的估计与校准流程，首先利用历史价格数据估计模型在统计测度下的参数，然后利用期权市场数据推断风险中性测度下的参数和风险溢价。我们的研究提炼出三个核心发现：
1. 期货定价： 我们推断出的跳跃风险溢价对比特币期货的持有成本（即基差）具有显著的解释力。这表明跳跃风险溢价是连接比特币现货、期权和期货市场的一个关键纽带。
2. 对冲策略： 跳跃风险溢价能够预测delta对冲期权交易策略的未来收益。这证实了我们定义的风险溢价并非纯粹的理论概念，而是可以被系统性的交易策略所捕捉的市场定价偏差。
3. 风险溢价动态： 我们发现，市场通常对下行跳跃风险要求比上行跳跃风险更高的溢价。这与现有文献中关于方差风险溢价的研究发现一致，即市场对负面冲击的厌恶程度更高。
1.4. 论文结构
本文的组织结构如下：第二节详细阐述模型的数学设定，包括P测度下的价格动态、矩生成函数、等价风险中性测度的构建以及期权定价公式。第三节介绍模型的两阶段估计与校准方法。第四节正式定义并解读正向与负向跳跃风险溢价。第五节展示实证研究结果，包括模型的拟合优度检验、风险溢价的历史演变及其在期货定价和期权策略中的应用。第六节对全文进行总结，并展望未来的研究方向。
2. 模型设定
2.1. P测度下的价格动态
本节旨在构建模型在统计测度（P测度）下的数学框架，这是理解资产在真实世界中动态行为的基础。我们引入一个包含连续扩散部分和两个独立的、由双变量霍克斯过程驱动的跳跃部分的价格过程。
2.1.1. 价格与强度过程
我们定义在统计测度P下的价格过程 St 如下： \frac{dS_t}{S_{t-}} = \mu dt + \sigma dW_t + (e^{J^+} - 1) dN_t^{(1)} - \lambda_t^+ E(e^{J^+} - 1) dt + (e^{J^-} - 1) dN_t^{(2)} - \lambda_t^- E(e^{J^-} - 1) dt \tag{1} 其中，μ 是常数漂移，σ 是常数波动率，Wt 是标准布朗运动。N(1)t 和 N(2)t 分别是代表正向和负向跳跃到达的泊松过程，其强度由时变的潜在过程 λ+t 和 λ-t 决定。J+ 和 J- 分别是正向和负向跳跃的规模。
跳跃强度过程 λ+t 和 λ-t 的动态由以下随机微分方程组（SDEs）描述： \begin{pmatrix} d\lambda_t^+ \ d\lambda_t^- \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \kappa^+(\theta^+ - \lambda_t^+) \ \kappa^-(\theta^- - \lambda_t^-) \end{pmatrix} dt + \begin{pmatrix} \beta_{11} & \beta_{12} \ \beta_{21} & \beta_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} J^+ dN_t^{(1)} \ J^- dN_t^{(2)} \end{pmatrix} \tag{2} 这里，κ± 是均值回归速度，θ± 是长期均值。系数 βij 决定了跳跃对强度的激励水平。其符号设定为 β11, β21 ≥ 0 且 β12, β22 ≤ 0，以确保所有跳跃的实现都会导致强度率的增加。为保证强度过程的期望值有限，我们施加以下参数约束： \kappa^+ \geq \beta_{11}EJ^+ + \beta_{12}EJ^-, \quad \kappa^- \geq \beta_{21}EJ^+ + \beta_{22}EJ^- \tag{3}
2.1.2. 价格与强度的解
价格过程 St 和强度过程 λ+t, λ-t 具有显式解。对数价格 Xt = ln(St/S0) 的解为： S_t = S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t \right) \cdot \exp\left( \left(\sum_{j=1}^{N_t^{(1)}} J_j^+ - E(e^{J^+} - 1) \int_0^t \lambda_s^+ ds \right) + \left(\sum_{j=1}^{N_t^{(2)}} J_j^- - E(e^{J^-} - 1) \int_0^t \lambda_s^- ds \right) \right) \tag{4} 强度过程的解为： \lambda_t^+ = \theta^+ + e^{-\kappa^+ t}(\lambda_0^+ - \theta^+) + \beta_{11} \int_0^t e^{-\kappa^+(t-s)} J_s^+ dN_s^{(1)} + \beta_{12} \int_0^t e^{-\kappa^+(t-s)} J_s^- dN_s^{(2)} \tag{5} \lambda_t^- = \theta^- + e^{-\kappa^- t}(\lambda_0^- - \theta^-) + \beta_{21} \int_0^t e^{-\kappa^-(t-s)} J_s^+ dN_s^{(1)} + \beta_{22} \int_0^t e^{-\kappa^-(t-s)} J_s^- dN_s^{(2)} \tag{6}
2.1.3. 跳跃规模分布
我们假设正向和负向跳跃的规模服从平移指数分布（shifted exponential distributions）。其概率密度函数（PDFs）分别为： \varpi^+(j) = \frac{1}{\eta^+} \exp\left(-\frac{1}{\eta^+}(j - \nu^+)\right) \mathbf{1}{{j > \nu^+}}, \quad \varpi^-(j) = \frac{1}{\eta^-} \exp\left(\frac{1}{\eta^-}(j - \nu^-)\right) \mathbf{1}{{j < \nu^-}} \tag{8} 其中，η+ > 0 和 η- > 0 控制跳跃的平均规模，而 ν+ > 0 和 ν- < 0 是跳跃的最小阈值。 这些分布的拉普拉斯变换在后续计算中至关重要，其形式如下： L^{(+)}(\omega) = \int_{\nu^+}^{\infty} e^{-\omega j} \varpi^+(j) dj = \frac{e^{-\nu^+ \omega}}{1 + \eta^+ \omega} \tag{9} L^{(-)}(\omega) = \int_{-\infty}^{\nu^-} e^{-\omega j} \varpi^-(j) dj = \frac{e^{-\nu^- \omega}}{1 - \eta^- \omega} \tag{10}
2.2. 矩生成函数 (MGF)
矩生成函数（MGF）是连接模型动态与衍生品定价的桥梁。我们推导了对数回报 XT 和跳跃强度 λ+T, λ-T 的联合矩生成函数。
命题 1. 对数回报 XT 和跳跃强度 λ+T, λ-T 的联合矩生成函数（MGF）具有指数仿射形式： G^P(\omega, \omega^+, \omega^-; T, x, \lambda^+, \lambda^-) \equiv E^P\left[\exp(\omega X_T + \omega^+ \lambda_T^+ + \omega^- \lambda_T^-) | X_t, \lambda_t^+, \lambda_t^-\right] = \exp\left(A(t, T) + \omega X_t + C(t, T)\lambda_t^+ + D(t, T)\lambda_t^-\right) \tag{11} 其中，函数 A, C, 和 D 是一个非线性常微分方程组（ODEs）的解： \begin{align*} \frac{\partial}{\partial t} A(t, T) &= -\mu\omega - \frac{\sigma^2}{2}(\omega^2 - \omega) - \kappa^+\theta^+C(t, T) - \kappa^-\theta^-D(t, T), \ \frac{\partial}{\partial t} C(t, T) &= -L^{(+)}(-\omega - C(t, T)\beta_{11} - D(t, T)\beta_{21}) + \kappa^+C(t, T) + \omega\left(\frac{e^{\nu^+}}{1-\eta^+} - 1\right) + 1, \ \frac{\partial}{\partial t} D(t, T) &= -L^{(-)}(-\omega - C(t, T)\beta_{12} - D(t, T)\beta_{22}) + \kappa^-D(t, T) + \omega\left(\frac{e^{\nu^-}}{1+\eta^-} - 1\right) + 1, \end{align*} \tag{12} 边界条件为 A(T, T) = 0, C(T, T) = ω+, D(T, T) = ω-。
该MGF在后续的测度转换和期权定价中扮演着核心角色。
2.3. 等价风险中性测度Q
为了进行无套利的衍生品定价，我们需要构建一个等价鞅测度（Q测度），在该测度下，贴现后的资产价格是一个鞅。
2.3.1. 测度转换定义
我们通过Radon-Nikodym导数过程来定义从P测度到Q测度的转换： \left.\frac{dQ}{dP}\right|_{\mathcal{F}_t} = \frac{M_t}{M_0}, \quad t \geq 0 \tag{13} 其中 {Mt}t≥0 是一个在P测度下的指数形式局部鞅，其精确形式通过命题2中的条件被隐式定义。测度转换的核心是通过两个待估计的外部参数 ξ+ 和 ξ- 来指定正负跳跃的风险溢价。
2.3.2. 鞅条件与风险溢价参数化
命题 2. Mt 成为局部鞅需要满足以下条件： \begin{align*} q_1^+(\xi^+)\kappa^+\theta^+ + q_1^-(\xi^-)\kappa^-\theta^- + q_2(\xi^+, \xi^-) &= 0, \ L^{(+)}(-\chi^+) - 1 - q_1^+(\xi^+)\kappa^+ &= 0, \ L^{(-)}(-\chi^-) - 1 - q_1^-(\xi^-)\kappa^- &= 0, \end{align*} \tag{17} 其中 χ+ 和 χ- 是由 ξ± 和其他内部参数定义的复合变量。
这是一个非线性系统。为了简化问题，我们引入了两个关键假设：
假设 2.1 & 2.2. 我们假设风险溢价函数是线性的，并将 χ+ 和 χ- 设定为外部风险溢价参数。这使得原本复杂的非线性问题转化为一个由 χ+ 和 χ- 控制的线性系统。
推论 1. 定义Radon-Nikodym导数的内部参数可以通过求解以下线性方程组唯一确定： \begin{pmatrix} 1+\beta_{11} & \beta_{21} & \beta_{11} & \beta_{21} & 0 \ \beta_{12} & 1+\beta_{22} & \beta_{12} & \beta_{22} & 0 \ \kappa^+\theta^+ & \kappa^-\theta^- & \kappa^+\theta^+ & \kappa^-\theta^- & 1 \ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi^+ \ \xi^- \ c^+ \ c^- \ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \chi^+ \ \chi^- \ 0 \ (L^{(+)}(-\chi^+)-1)/\kappa^+ \ (L^{(-)}(-\chi^-)-1)/\kappa^- \end{pmatrix} \tag{20} 该系统的系数矩阵行列式为1，因此总存在唯一解。
这一系列结果确立了等价鞅测度Q完全由两个外部风险溢价参数 χ+ 和 χ- 刻画，这使得模型的校准和风险溢价的推断变得清晰和易于处理。
2.3.3. Q测度下的动态
命题 4. 在Q测度下，跳跃强度的动态与P测度下具有相似的结构，但参数经过了调整： \begin{align*} d\lambda_t^{+,Q} &= \kappa^+(\theta^{+,Q} - \lambda_t^{+,Q})dt + \beta_{11}^Q J^{+,Q} dN_t^{(1),Q} + \beta_{12}^{-,Q} J^{-,Q} dN_t^{(2),Q} \ d\lambda_t^{-,Q} &= \kappa^-(\theta^{-,Q} - \lambda_t^{-,Q})dt + \beta_{21}^Q J^{+,Q} dN_t^{(1),Q} + \beta_{22}^Q J^{-,Q} dN_t^{(2),Q} \end{align*} \tag{22} 其中，参数转换关系为： \begin{gather} \theta^{+,Q} = L^{(+)}(-\chi^+)\theta^+, \quad \beta_{11}^Q = L^{(+)}(-\chi^+)\beta_{11}, \quad \beta_{12}^Q = L^{(+)}(-\chi^+)\beta_{12} \tag{23} \ \theta^{-,Q} = L^{(-)}(-\chi^-)\theta^-, \quad \beta_{21}^Q = L^{(-)}(-\chi^-)\beta_{21}, \quad \beta_{22}^Q = L^{(-)}(-\chi^-)\beta_{22} \tag{24} \ \eta^{+,Q} = \frac{\eta^+}{1 - \eta^+\chi^+}, \quad \eta^{-,Q} = \frac{\eta^-}{1 + \eta^-\chi^-} \tag{25} \end{gather}
命题 5. 在Q测度下，对数回报过程 Xt 的动态为： d_Xt = \left(r - \frac{\sigma^2}{2}\right)dt + \sigma dW_t^Q + (J^{+,Q} dN_t^{Q,(1)} - \lambda_t^{+,Q} E^Q(e^{J^{+,Q}}-1)dt) + (J^{-,Q} dN_t^{Q,(2)} - \lambda_t^{-,Q} E^Q(e^{J^{-,Q}}-1)dt) \tag{27} 其中 r 是无风险利率，W_t^Q 是Q测度下的布朗运动。贴现后的价格过程 e^(-rt)St 是一个Q-鞅。
2.4. 期权定价公式
理论模型的最终目标是为衍生品定价提供一个可计算的框架。
推论 2. Q测度下的MGF形式与P测度下类似，只需将所有P测度下的参数替换为它们在Q测度下的对应项即可。 \mu \to r, \quad \theta^\pm \to \theta^{\pm,Q}, \quad \beta_{ij} \to \beta_{ij}^Q, \quad \eta^\pm \to \eta^{\pm,Q} \tag{29}
推论 3. 基于Lewis-Lipton公式，欧式看涨期权和看跌期权的价格可以通过对风险中性MGF进行傅里叶变换得到。看涨期权价格为： U_{\text{call}}(\tau, S, K) = e^{-r\tau}S - U(\tau, X, K) \tag{30} 看跌期权价格为： U_{\text{put}}(\tau, S, K) = e^{-r\tau}K - U(\tau, X, K) \tag{31} 其中 U(τ,X,K) 是通过对MGF进行积分计算得到的。在数值实现上，我们需要求解ODE系统，并且MGF的计算结果可以对同一到期日但不同行权价的期权重复使用，从而显著提高计算效率。
至此，我们已经建立了完整的理论模型。接下来，我们将讨论如何将该模型应用于实际数据，进行参数估计和风险溢价分析。
3. 模型校准与估计
3.1. 两阶段校准方法概述
本节将详细介绍一个两阶段的校准方法，旨在将前述理论模型与市场数据相结合。第一阶段，我们利用资产的历史价格时间序列数据，估计模型在统计测度（P测度）下的参数。这一阶段的重点是捕捉资产的真实动态特征。第二阶段，我们利用期权市场的截面数据，推断风险中性测度（Q测度）下的参数以及核心的风险溢价参数。这一阶段的目标是让模型与市场当前的衍生品定价保持一致。
3.2. 时间序列估计 (P测度)
3.2.1. 跳跃识别
我们采用“峰值逾阈”（Peak-over-Threshold, POT）方法从历史回报序列中识别跳跃事件。其核心思想是，在剔除跳跃后，剩余的连续部分回报应近似服从正态分布，即其偏度（skewness）和超额峰度（excess kurtosis）应接近于零。因此，我们通过最小化过滤后收益序列的偏度和超额峰度的绝对值之和来估计正负跳跃的阈值 ν̂+ 和 ν̂-： (\hat{\nu}^+, \hat{\nu}^-) = \arg\min_{\nu^+, \nu^-} \left[ |\text{skew}(X(\nu^+, \nu^-))| + |\text{kurt}(X(\nu^+, \nu^-))| \right] \tag{32} 一旦阈值确定，我们便可以识别出所有超出阈值的回报作为正向或负向跳跃事件： \mathcal{J}^+ = {X_s: X_s \geq \hat{\nu}^+}, \quad \mathcal{J}^- = {X_s: X_s \leq \hat{\nu}^-} \tag{33} 由此，我们可以构建跳跃的计数过程 N̂(1) 和 N̂(2)，并记录下每次跳跃的发生时间： \hat{N}^{(1)} = #{X_s: X_s \geq \hat{\nu}^+}, \quad \hat{N}^{(2)} = #{X_s: X_s \leq \hat{\nu}^-} \tag{34-35}
3.2.2. 参数估计
跳跃规模分布的参数 η̂+ 和 η̂- 可以通过对超出阈值部分的跳跃规模取均值来直接估计： \hat{\eta}^+ = (\hat{N}^{(1)})^{-1} \sum_{j \in \mathcal{J}^+} (j - \hat{\nu}^+), \quad \hat{\eta}^- = -(\hat{N}^{(2)})^{-1} \sum_{j \in \mathcal{J}^-} (j - \hat{\nu}^-) \tag{36} 强度动态的参数，包括均值回归速度 κ±、长期均值 θ± 以及激励矩阵 {βij}，则通过最大似然估计（MLE）得到。我们优化的目标是以下部分对数似然函数： \ln L = \sum_{T^+ \in \mathcal{T}^+} \ln\lambda^+(T^{+-}) + \sum_{T^- \in \mathcal{T}^-} \ln\lambda^-(T^{--}) - \int_0^T \lambda^+(t^-)dt - \int_0^T \lambda^-(t^-)dt \tag{38} 该函数的核心逻辑是最大化在观测到的跳跃时间点上，模型预测的跳跃强度 λ±(t-) 的概率，同时惩罚在整个观测期内过高的平均强度。在数值优化过程中，强度过程 λ±(t) 及其积分可以根据公式（39-43）进行高效的递归计算。
3.3. 对隐含波动率的校准 (Q测度)
第二阶段的目标是连接模型与期权市场。我们通过最小化模型生成的隐含波动率与市场观测到的隐含波动率之间的加权平均绝对百分比误差（MAPE），来推断连续部分的波动率 σ 以及风险溢价参数 χ+ 和 χ-。校准过程遵循以下三个关键步骤：
1. 给定一组风险溢价参数 χ+ 和 χ-，利用第二节推导的转换关系（公式29），计算出Q测度下的所有模型参数。
2. 使用Q测度下的MGF和期权定价公式（公式30和31），计算出一系列不同行权价和到期日的期权理论价格。
3. 将这些理论价格代入标准的Black-Scholes公式进行反解，得到模型对应的隐含波动率。
通过这一两阶段方法，模型不仅能匹配资产的历史价格动态，还能与当前的期权市场定价保持一致，为深入分析风险溢价奠定了坚实的基础。
4. 正向与负向跳跃风险溢价
4.1. 定义与解读
本节将正式定义并深入探讨模型的核心概念——跳跃风险溢价（Jump Risk Premia, JRP）。这是连接真实世界动态与风险中性世界定价的关键。
推论 4. 正向跳跃风险溢价 γ+t 和负向跳跃风险溢价 γ-t 定义为风险中性测度（Q）下的预期跳跃补偿与统计测度（P）下的预期跳跃补偿之差： \gamma_t^+ = \lambda_t^{+,Q} E^Q(e^{J^{+,Q}} - 1) - \lambda_t^+ E(e^{J^+} - 1) \tag{44} \gamma_t^- = \lambda_t^{-,Q} E^Q(e^{J^{-,Q}} - 1) - \lambda_t^- E(e^{J^-} - 1) \tag{45}
这一定义具有深刻的经济含义。它衡量了由期权市场价格所反映的、市场对未来跳跃风险的远期预期（Q测度下的项）与由历史价格动态所揭示的、已实现的跳跃风险（P测度下的项）之间的差异。因此，跳跃风险溢价可以被解读为市场情绪的一种量化指标。当 γ+t > 0 时，意味着期权市场为上行跳跃风险定价的溢价高于历史水平，反映了市场的乐观情绪或对“踏空”的恐惧。相反，当 γ-t 的值更负时，意味着市场为下行跳跃风险定价的溢价更高，反映了市场的悲观情绪或对崩盘的恐惧。
4.2. 风险溢价对期权定价的影响
4.2.1. 对隐含波动率微笑的影响
跳跃风险溢价直接塑造了期权隐含波动率微笑（Volatility Smile）的形态。γ+ 和 γ- 的变化对不同执行价的期权产生非对称影响：
* 正向跳跃风险溢价 (γ+) 的增加主要抬高价外看涨期权（高执行价）的隐含波动率，使得波动率微笑的右侧（高执行价端）向上倾斜。
* 负向跳跃风险溢价 (γ-) 变得更负，主要抬高价外看跌期权（低执行价）的隐含波动率，使得波动率微笑的左侧（低执行价端）向上倾斜。
两者共同决定了隐含波动率微笑的整体水平和偏斜度（skewness）。通过调整 γ+ 和 γ-，模型能够灵活地复制市场上观察到的从左偏（负偏）到右偏（正偏）的各种波动率结构。
4.2.2. 对风险中性密度的影响
跳跃风险溢价也直接影响了资产未来价格的风险中性概率密度函数（Risk-Neutral Density, RND）。
* 增加 γ+ 会使风险中性密度的右尾变“肥”，意味着市场认为未来发生大幅度向上跳跃的概率更高。
* 使 γ- 变得更负，则会使风险中性密度的左尾变“肥”，反映了市场对未来发生大幅度向下跳跃的更高定价。
因此，γ+ 和 γ- 共同决定了风险中性概率密度的不对称性和尾部厚度，精确地捕捉了市场对上行和下行极端事件风险的定价。
综上所述，跳跃风险溢价是连接市场情绪、历史动态与衍生品定价的关键变量。下一章将通过实证分析来验证这些理论关系。
5. 实证结果
5.1. 数据与研究设计
本节将展示模型在比特币（BTC）期权市场上的实证应用，旨在验证模型的有效性，并揭示跳跃风险溢价的经济含义。我们使用的数据来源于主要的加密货币衍生品交易所Deribit，包括自2015年12月31日至2023年10月4日的BTC现货价格，以及自2019年5月30日至2023年10月4日的期权隐含波动率快照。为避免市场噪音，我们统一采用每日世界标准时间（UTC）上午9点的快照数据。
我们的实证研究设计流程如下：
1. 参数估计： 使用期权数据可用之前（2015-12-31至2019-05-29）的BTC历史价格作为第一数据集，估计模型在P测度下的跳跃相关参数。
2. 动态推断： 将估计出的P测度参数应用于后续的价格数据（第二数据集，2019-05-30之后），动态地推断每日的跳跃强度 λ+t 和 λ-t。
3. 风险溢价校准： 使用第二数据集中的期权数据（近月、执行价在0.8到1.2倍现货价之间的期权），在每个交易日，校准当天的波动率 σ 和风险溢价参数 χ+, χ-。
4. 分析应用： 利用每日校准得到的参数，计算出正负跳跃风险溢价 γ+t, γ-t 的时间序列，并对其进行深入的经济学分析。
5.2. 拟合优度
为了评估我们的模型对BTC价格动态的拟合效果，我们使用了基于随机时间变换定理的Q-Q图检验。该方法的核心思想是，如果模型正确地捕捉了跳跃的强度过程，那么经过强度积分变换后的跳跃间隔时间应该服从标准的指数分布。
分析结果显示，理论分位数（标准指数分布的分位数）与经验分位数（变换后的真实跳跃间隔时间的分位数）高度吻合，几乎完全落在45度线上。根据源文本，叉号和圆圈分别代表在2019年5月30日之前（样本内）和之后（样本外）发生的跳跃。这一结果无论是在样本内还是样本外都表现出色，有力地证明了我们的双变量霍克斯过程模型能够准确地捕捉比特币价格中复杂的跳跃聚类行为。
5.3. 跳跃风险溢价的演变
我们计算了从2019年5月到2023年10月期间正向和负向跳跃风险溢价的时间序列。序列呈现出以下几个显著特征：
* 时变性强： 风险溢价并非恒定，而是随市场环境剧烈波动。
* 均值回归： 尽管存在极端峰值，但风险溢价倾向于向零附近的均值回归。
* 同向波动但幅度不对称： 正负风险溢价通常同向波动，但负向跳跃风险溢价的波幅（绝对值）往往更大，这与市场对下行风险更为厌恶的直觉相符。
我们将风险溢价序列中的几个显著波峰和波谷与同期的重大市场事件进行对照，发现两者高度相关：
* (i) 2020年3月 (波谷): COVID-19疫情爆发引发全球市场恐慌，负向跳跃风险溢价急剧下降，反映出极度的避险情绪。
* (ii) 2021年1月 (波峰): BTC牛市达到顶峰，机构投资者入场，市场情绪极度乐观，正向跳跃风险溢价创下新高。
* (iii) 2021年5月27日 (波谷): 对比特币挖矿的环境担忧引发市场抛售。
* (iv) 2022年6月 (波谷): 美联储为应对高通胀而采取激进加息政策，导致BTC价格大幅下跌，负向风险溢价再次探底。
* (v) 2022年11月 (波谷): FTX交易所危机爆发，引发加密市场连锁崩盘，市场恐慌情绪蔓延，负向风险溢价达到极值。
5.4. 跳跃风险溢价与BTC期货持有成本
为了检验跳跃风险溢价的经济意义，我们研究了它与BTC期货持有成本（也称为基差）之间的关系。我们将持有成本 ct 定义为： c_t = \ln(F_t(\tau)/S_t) / \tau \tag{46} 其中 Ft(τ) 是到期时间为 τ 的期货价格，St 是现货价格。我们构建了如下的回归模型来检验跳跃风险溢价对持有成本变化的解释力： \Delta c_t = \beta_1 \Delta\gamma_t^+ + \beta_2 \Delta\gamma_t^- + \beta_3 \Delta(\dots) + \Delta\epsilon_t \tag{47} 模型中还包含了其他控制变量，如过去一周的实际跳跃次数和永续合约的平均资金费率。
回归分析的结果揭示了跳跃风险溢价对BTC期货持有成本的显著解释力。在一个仅使用正负跳跃风险溢价作为解释变量的回归模型（模型 I）中，调整后R²达到14.67%，表明期货价格与跳跃风险溢价直接相关。在包含了过去一周跳跃次数和资金费率等控制变量的完整模型（模型 VI）中，模型的解释力（调整后R²）高达31.07%，其中 γ+t 的系数为0.0075 (t=1.70)，γ-t 的系数为0.0097 (t=1.80)，两者均在统计上显著。
这些结果揭示了BTC现货、期权和期货市场之间存在着深刻的内在联动。实证上，正向跳跃风险溢价与资金费率之间的正相关性（约36.7%）可能源于投机性需求的增加，这种需求同时推高了看涨期权和永续合约的价格。相反，负向跳跃风险溢价与过去一周负向跳跃次数的负相关性（约-24%）则可能反映了在充满高波动的熊市期间，看跌期权价格的上升。这表明期权市场反映的风险偏好对期货市场的定价具有重要的预测价值。
5.5. 实现跳跃风险溢价
最后一个实证问题是：我们所定义的跳跃风险溢价是否可以通过实际的期权交易策略来“实现”或赚取？为此，我们构建了一系列delta对冲的空头期权策略（如卖出看涨/看跌期权、卖出宽跨式组合等）。交易信号基于我们计算出的跳跃风险溢价：
* 当正向跳跃风险溢价 γ+t 为正时，表明市场对看涨期权的定价偏高，我们发出卖出看涨期权类策略的信号。
* 当负向跳跃风险溢价 γ-t 为负时，表明市场对看跌期权的定价偏高，我们发出卖出看跌期权类策略的信号。
我们构建了如下回归模型，检验风险溢价水平对策略未来一周回报的预测能力： r_{t+1} = \beta_0 + \beta_1 \gamma_t^+ + \beta_2 \gamma_t^- + \text{其他控制变量} \tag{48} 回归结果证实了我们的假设。总体而言，当正向跳跃风险溢价为正时，卖出看涨期权类策略（如ATM看涨期权、10d看涨期权）平均能获得正回报，其在回归中 γ+t 的系数显著为正。同样，对于卖出看跌期权的策略（如ATM看跌期权、10d看跌期权），γ-t 的系数始终为负且具有统计显著性，这证实了当负向跳跃风险溢价更负（即市场隐含的下行风险更高）时，卖出保护性看跌期权的策略能预测到更高的回报。例如，在10d宽跨式（10d strangle）策略的回归中，γ+t 的系数为23.889 (t=2.15)，γ-t 的系数为-33.475 (t=-2.541)，两者均显著。
这一发现强有力地证明了我们定义的跳跃风险溢价确实捕捉到了可被交易策略利用的市场定价偏差，具有真实的经济价值。
6. 结论
6.1. 核心贡献总结
针对加密货币等新兴市场中普遍存在的、传统模型难以解释的变号偏度问题，本文成功开发并验证了一个基于双变量霍克斯过程的期权定价模型。该模型能够有效地捕捉正负跳跃的聚集性特征及其相互影响。本文的核心贡献可以概括为以下三点：
1. 模型创新： 我们引入了一个能够同时捕捉聚集性的正向和负向跳跃，并能清晰分离其各自风险溢价的定价框架。该模型为理解和量化那些由市场情绪驱动、表现出非对称和时变偏度的资产提供了强大的分析工具。
2. 市场联动： 通过对比特币市场的实证研究，我们证明了跳跃风险溢价是连接现货、期权和期货市场的关键桥梁。它对期货持有成本具有显著的解释力，揭示了不同市场之间的风险定价是相互关联的。
3. 策略应用： 我们证明了跳跃风险溢价并非一个纯粹的理论概念，而是具有实际经济价值的。它能够预测delta对冲期权策略的未来收益，这意味着我们定义的风险溢价确实捕捉到了可以被系统性交易策略所“实现”的市场定价偏差。
6.2. 局限性与未来研究方向
尽管我们的模型在解释和预测方面表现出色，但仍存在进一步探索的空间。未来的研究可以从以下几个方面展开：
* 应用拓展： 本文的分析框架具有普适性，可以应用于其他表现出类似政权转换行为的资产类别，例如备受散户关注的“模因股票”和受宏观经济条件影响的G-7国家货币。
* 模型扩展： 当前模型假设风险溢价参数 χ± 在每次校准时为常数。一个自然的扩展方向是将其设定为时变的随机过程，以捕捉更复杂、更长期的市场情绪动态和风险偏好变化。
总而言之，本文为理解和定价存在聚集性跳跃和时变偏度的资产提供了一个坚实的理论与实证基础，并为未来的研究开辟了新的道路。
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