基于q相关解趋势交叉相关分析的加密货币市场动态结构研究
摘要 (Abstract)
本研究的核心目标是运用q相关解趋势交叉相关分析（q-dependent detrended cross-correlation analysis, qMST）方法，深入探究加密货币市场的动态关联结构。我们采用的数据集涵盖了2021年1月1日至2024年9月30日期间，在币安（Binance）交易所交易的140种主要加密货币的分钟级高频数据。通过引入qMST方法，本研究能够区分不同波动幅度下的市场相关性模式。研究发现，加密货币市场的网络结构在2022年5月Terra/Luna崩盘事件后发生了显著转变，即从一个以比特币（BTC）为绝对中心的强中心化结构，演变为一个更加多元和去中心化的格局。一个关键发现是，市场中等规模波动的相关性普遍强于大规模波动。然而，在市场崩盘等极端事件期间，这种关系会发生逆转，不同波动幅度下的网络结构差异被急剧放大，导致大规模波动下的网络呈现出完全去中心化的拓扑形态。本研究的结果不仅揭示了加密货币市场复杂的多层次动态，也为构建更具灵活性和适应性的投资组合策略提供了新的视角与实证依据。
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1. 引言 (引言)
复杂系统理论为理解金融市场提供了强有力的分析框架，尤其适用于结构复杂、动态多变的加密货币市场。作为一个典型的复杂系统，加密货币市场由众多相互作用的资产构成，它们之间的非线性相互作用驱动着市场的整体演化。经过十余年的发展，该市场已展现出诸多成熟金融市场的特征，例如显著的流动性、回报率分布的幂律尾、以及多重分形特性。
以往的研究系统地探讨了加密货币市场的内部结构。这些研究发现，投资者行为（如羊群效应）对市场动态有重要影响。同时，市场结构呈现出明显的层级性，其中比特币（BTC）和以太坊（ETH）等高市值资产长期占据主导地位，扮演着网络中心（hub）的角色。然而，这种结构并非一成不变，而是随着时间动态演化，市场中心节点和行业集群会发生变化。
为了分析并可视化金融市场的复杂网络结构，研究者们开发了多种工具，其中最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）非平稳时间序列时，其结果的可靠性会受到严重影响，因为趋势等非平稳因素会扭曲真实的相关性度量。
为了直接应对这一挑战，本研究引入了**q相关解趋势交叉相关分析（q-dependent detrended minimum spanning trees, qMST）**方法。该方法论是解决非平稳性问题的直接 methodological answer。其基础——多重分形去趋势交叉相关分析（MFCCA）——通过系统性的去趋势步骤，能够有效处理非平稳时间序列。更进一步，通过引入参数q，该方法能够区分不同波动幅度下的相关性。当q=2时，该方法对应于标准的去趋势交叉相关分析，所有波动被等权重地考虑；而当q取其他值时，则可以放大特定幅度的波动，从而能够更精细地揭示市场在不同状态下的多层次关联结构。
因此，本文的研究目标是：利用qMST方法，对加密货币市场关联结构进行深入分析，重点考察其时间演变规律、对不同规模波动的依赖性，以及**重大市场事件（如市场崩盘）**对其产生的冲击。本文的组织结构如下：第二部分将详细介绍所使用的数据和核心分析方法；第三部分将展示并讨论实证分析结果；第四部分则对全文进行总结并展望未来的研究方向。
2. 数据与方法 (Data and Methods)
本节旨在详细介绍研究中使用的数据集及其处理方法，并阐述q相关解趋势交叉相关分析（qMST）的核心理论与构建流程。方法的严谨性是确保本研究结论可靠性的坚实基础。
2.1 数据来源与处理 (Data Source and Processing)
本研究使用的数据集涵盖了在币安（Binance）交易所交易的 140 种加密货币。数据的时间范围为 2021年1月1日至2024年9月30日，采样频率为 1分钟。币安作为全球交易量最大的交易所之一，其数据足以代表整个加密货币市场的动态。为了确保分析的有效性，我们从数据集中排除了与法定货币挂钩的稳定币，因为它们相对于USDT的波动性极小。
在数据预处理阶段，我们将原始的汇率价格时间序列 p_i(t_m) 转换为对数回报率序列 R_i(t_m)，计算公式如下： R_i(t_m) = \ln p_i(t_{m+1}) - \ln p_i(t_m) 其中，i 代表特定的加密货币，t_m 为时间点。
2.2 多重分形去趋势交叉相关分析 (Multifractal Detrended Cross-Correlation Analysis)
为了准确衡量非平稳时间序列之间的相关性，我们采用了q相关解趋势交叉相关系数 ρq(s)。其计算过程遵循多重分形去趋势交叉相关分析（MFCCA）框架，具体步骤如下：
1. 积分与剖分：对于任意两个对数回报率时间序列 U = \{u(i)\} 和 V = \{v(i)\}，首先计算它们的累积序列（或称剖面）\tilde{u}(i) 和 \tilde{v}(i)： \tilde{u}(i) = \sum_{j=1}^{i} u(j), \quad \tilde{v}(i) = \sum_{j=1}^{i} v(j)
2. 多项式去趋势：将累积序列划分为长度为 s 的多个分段。在每个分段 ν 内，通过拟合一个m阶多项式趋势 P^{(m)}_{\nu} 并将其从原序列中减去，得到去趋势后的序列 x 和 y。
3. 计算分段协方差与方差：在每个分段 ν 内，计算去趋势序列的协方差 f^2_{XY}(s, \nu) 和各自的方差 f^2_{XX}(s, \nu)、f^2_{YY}(s, \nu)： f^2_{XY}(s, \nu) = \frac{1}{s} \sum_{k=1}^{s} x(\nu s+k) y(\nu s+k) f^2_{XX}(s, \nu) = \frac{1}{s} \sum_{k=1}^{s} x^2(\nu s+k) f^2_{YY}(s, \nu) = \frac{1}{s} \sum_{k=1}^{s} y^2(\nu s+k)
4. 计算q阶波动函数：通过对所有分段的协方差和方差进行q阶矩平均，得到q阶波动函数 F^q_{XY}(s)、F^q_{XX}(s) 和 F^q_{YY}(s)。特别地，对于协方差项，引入了符号函数sign以确保波动函数对于任意q值都为实数，并保证结果的一致性。
5. 定义q相关解趋势交叉相关系数：最终，q相关解趋势交叉相关系数 ρq(s) 被定义为： \rho_q(s) = \frac{F^q_{XY}(s)}{\sqrt{F^q_{XX}(s)F^q_{YY}(s)}}
此方法中的参数 q 扮演着关键角色，如同一个“放大镜”，通过调整其值来改变q阶矩计算中的权重，从而选择性地聚焦于特定幅度的波动。当q=2时，该系数等同于标准的去趋势交叉相关系数（ρDCCA），反映的是所有波动被等权重考虑下的平均相关性；当q>2时，计算过程会赋予大幅度波动的分段更高的权重，从而使结果更能反映市场在剧烈波动下的关联性。
2.3 q相关解趋势最小生成树 (q-Dependent Detrended Minimum Spanning Trees - qMST)
qMST的构建过程如下：
1. 构建相关矩阵：对于 N 个加密货币资产，我们计算所有资产对之间的 ρq(s) 系数，构成一个 N x N 的q相关解趋势交叉相关矩阵 C(q, s)。
2. 转换为距离矩阵：由于相关系数不满足距离度量的三角不等式条件，需要将其转换为距离。我们采用以下公式将相关矩阵 C(q, s) 转换为距离矩阵 D(q, s)： D_{ij}(q, s) = \sqrt{2[1 - C_{ij}(q, s)]} 当 q ≥ 1 时，该距离度量满足三角不等式。
3. 构建qMST：在距离矩阵 D(q, s) 的基础上，应用Kruskal或Prim算法。这些算法通过选择权重（即距离）最小的 N-1 条边来连接所有 N 个节点，从而生成一棵总权重最小的树，即qMST。
在本研究中，我们选取了两个代表性的 q 值进行分析：
* q=1: 该值代表对所有波动幅度的平均加权，反映了市场在平均波动状态下的关联结构。
* q=4: 该值用于放大大幅波动的影响。选择q=4不仅是为了聚焦于极端事件，更是基于金融回报率分布普遍存在的“逆三次幂律”这一程式化事实。该定律意味着，当q>4时，回报率分布的高阶矩可能发散，导致分析结果不可靠。因此，q=4可视为一个有效的上限。
通过以上严谨的数据处理与方法构建，我们得以在下一章节中对加密货币市场的动态结构进行深入的实证分析。
3. 结果与分析 (Results and Analysis)
本节将通过滚动窗口分析，系统展示qMST方法在揭示加密货币市场动态结构方面的实证结果。我们将采用一个为期7天（10,080个数据点）的滚动窗口，以1天为步长进行分析。我们将从时间演变、波动幅度差异和市场因子过滤三个维度展开，以全面剖析市场的复杂动态。
3.1 交叉相关性的时间演变 (Temporal Evolution of Cross-Correlations for q=1)
首先，我们分析基于平均波动（q=1）的qMST网络特征随时间的变化。一个显著的结构性转变发生在2022年4月底至5月，即Terra/Luna崩盘事件期间。
* 中心性变化：在此日期之前，市场网络结构高度集中，比特币（BTC）去中心化。BTC的主导地位显著下降，其最大节点度数从未超过90（图2a）。与此同时，如ADA、DOT、ETH、SAND等多种加密货币交替成为网络中心，显示出市场结构的多元化趋势。
* 网络拓扑变化：网络拓扑指标也证实了这一去中心化过程。平均路径长度 ⟨L⟩ 在2022年5月之前通常较低，之后则几乎始终保持在3以上（图2b），表明节点间的平均距离增加，网络结构变得更为分散。图3的可视化结果直观地展示了这一转变：2022年4月25日的网络（图3a）呈现出以BTC为核心的星形结构，而5月18日的网络（图3b）则明显分散，中心节点变为ONT（度数为33）。
* 谱特征变化：相关矩阵的谱分析进一步佐证了上述发现，并揭示了其内在联系。市场整体相关性强度的下降，由最大特征值 λ₁ 的整体走低所量化（图2c），这正是网络拓扑去中心化（即k_max下降和⟨L⟩上升）的直接谱特征信号。同时，与 λ₁ 对应的特征向量分量 v²₁ 反映了各资产在市场因子中的权重。BTC权重的显著降低（图2d）以及其他资产权重的相对提升，再次从谱分析角度印证了市场去中心化的趋势。
图2. q=1时qMST网络与谱特征的时间演变：(a) 最大节点度 k，(b) 平均路径长度 ⟨L⟩，(c) 最大特征值 λ₁，(d) 主要资产的特征向量分量 v²₁，(e) 特征向量的香农熵 H(v²₁)。
图3. Terra/Luna崩盘事件前后的qMST网络拓扑结构（q=1）：(a) 2022年4月25日，BTC为中心；(b) 2022年5月18日，ONT为中心。节点大小与交易量成正比，颜色代表不同板块。
3.2 不同波幅下的相关性结构差异 (Structural Differences in Correlations at Various Fluctuation Amplitudes)
接下来，我们对比分析大规模波动（q=4）与平均波动（q=1）下的qMST网络结构，揭示市场在不同状态下的行为差异。
核心差异在于：q=4 对应的网络结构通常更不稳定、更加去中心化。如图5所示，q=4 的最大节点度 k_max 普遍低于 q=1（图5a），而平均路径长度 ⟨L⟩ 则显著更高（图5b）。同时，由 λ₁ 衡量的整体相关性在 q=4 时也通常更弱（图5e）。这表明，在日常的大幅价格波动中，加密货币之间的同步性反而不如中等规模波动时强。
然而，在市场发生崩盘或价格暴跌时，我们观察到一种特殊现象。在这些极端下跌事件期间，大规模波动的相关性会反常地强于平均波动的相关性，表现为 λ₁(q=4) > λ₁(q=1)（图5e）。为了量化 q=1 和 q=4 网络结构的差异，我们使用了图距离度量 dDC0 和 drp1。如图5c和5d所示，这两种度量值在市场崩盘期间达到峰值，表明两种网络结构在此期间差异最大。
图7、8、9中的可视化结果直观地揭示了这一现象。在包含市场崩盘的窗口内，q=4 的qMST呈现出完全去中心化的链状或分散结构，而 q=1 的结构则相对集中。其背后的机制是：在系统性崩盘中，极端负回报在几乎所有资产间同步发生。q=4参数极大地放大了这些同步的大幅波动，导致所有资产对之间的交叉相关系数趋于饱和（即接近一个相似的高值）。在这样一个同质化的高相关性环境中，单个中心枢纽无法形成，从而产生了一个完全去中心化的MST拓扑结构。这证明了qMST方法在捕捉不同市场状态下细微结构差异方面的独特优势。
图5. q=1与q=4下网络与谱特征的对比：(a) 最大节点度 k_max，(b) 平均路径长度 ⟨L⟩，(c, d) 两种网络间的距离度量 drp1 和 dDC0，(e) 最大特征值 λ₁。罗马数字标记了发生市场崩盘的窗口。
图7. 市场崩盘窗口内（上排a, b）与正常窗口内（下排c, d）的qMST结构对比。左侧为q=1，右侧为q=4。在崩盘时，q=4的网络呈现完全去中心化。
3.3 市场因子过滤后的相关性结构 (Correlation Structure after Filtering the Market Factor)
为了探究市场整体同向波动之外更深层次的内部关联结构，我们过滤了由最大特征值 λ₁ 所代表的“市场因子”。通过回归分析移除与市场因子相关的方差贡献后，我们得到了残差序列并构建了新的qMST。
分析过滤后的结果（见图10和图11），我们发现：
* 普遍效应：过滤后，网络的整体相关性（由 λ'₁ 衡量）普遍减弱，结构变得更加去中心化，表现为最大节点度 k' 减小（图10a），平均路径长度 ⟨L'⟩ 增大（图10b）。
* 对节点中心性的影响：一个重要的发现是，在过滤市场因子后，BTC在2022年中之前的中心地位依然可见，尤其是在 q=4 的情况下更为清晰（图11c）。然而，SAND在2024年观察到的主导地位则完全消失了（图11a）。
这一结果有力地表明，SAND的短期中心地位与市场整体上涨的“市场因子”高度相关，是一种较为表层的现象。相比之下，BTC和ETH的市场角色则更为持久和根本，即使在剥离了市场整体效应后，它们在网络中的重要性依然存在。
图11. 过滤市场因子后qMST的中心节点演变。左侧为q=1，右侧为q=4。BTC在2022年之前的中心地位在过滤后依然显著，而SAND在2024年的主导地位消失。
3.4 网络与谱特征之间的依赖关系 (Dependencies between Network and Spectral Characteristics)
最后，我们综合分析了各网络指标（最大度 k_max，平均路径长度 ⟨L⟩）与谱指标（最大特征值 λ₁，最大特征向量分量 v²₁_max，熵 H(v²₁)）之间的相关性。如图12所示，在平均波动（q=1）下，各类指标组内的相关性最强。
一个关键的发现是，所有这些度量指标都表现出显著的长程自相关性（见图13），这意味着市场的网络结构和相关性强度具有长期记忆效应，最长可达250天。我们将这种现象归因于金融市场普遍存在的“波动率聚集”这一程式化事实，即高波动率时期和低波动率时期会各自持续一段时间。这种波动率的记忆性直接转化为市场相关性结构和网络拓扑的长期记忆。
图13. 各指标的自相关函数，显示出显著的长期记忆效应。
以上多维度分析全面揭示了加密货币市场的复杂动态，为最终的结论奠定了坚实的基础。
4. 结论与展望 (结论 and Future Outlook)
本研究通过引入并应用q相关解趋势交叉相关分析（qMST）方法，对2021年至2024年期间的加密货币市场动态结构进行了深入的多维度探讨，并取得了一系列重要发现。
本研究的核心结论可概括如下：
* 市场结构的演变：我们证实了加密货币市场自2022年5月Terra/Luna崩盘事件后，经历了一场深刻的结构性转变。市场从一个由比特币（BTC）绝对主导的强中心化结构，演变为一个更加多元化和去中心化的新格局。
* 相关性的波动幅度依赖性：研究发现，中等规模波动的相关性普遍强于大规模波动。这导致在大幅波动下（q=4）构建的qMST网络更为分散和不稳定，而在平均波动下（q=1）则更为集中。
* 极端事件的影响：在市场崩盘等极端事件期间，所有资产的大规模波动同步性会急剧增强。这一现象使得 q=4 条件下的qMST网络结构呈现出完全去中心化的形态，与 q=1 下相对集中的结构形成鲜明对比。
* 方法的有效性：本研究证明了qMST作为一种先进的分析工具，在捕捉和区分不同市场状态下的多层次、多尺度关联结构方面具有独特的优势，能够揭示传统相关性分析所无法触及的深层信息。
这些研究发现具有重要的实践意义，尤其是在投资组合管理方面，可为投资者提供更具前瞻性的 actionable insights：
* 应对系统性风险的投资组合构建：在平均波动（q=1）下观察到的高度中心化结构意味着，投资组合必须进行积极且充分的多样化配置，以有效对冲由市场整体联动所驱动的系统性风险。
* 利用大波动状态进行战术性配置：在大幅波动（q=4）下呈现的去中心化、集群化网络结构，为识别在市场承压时行为相似的资产集群提供了清晰的路线图。这使得进行更有效的行业板块对冲或战术性配对交易策略成为可能。
展望未来，将qMST方法直接应用于具体的投资组合优化策略构建是一个充满前景的研究方向。此外，该方法论作为一种分析复杂系统关联结构的通用工具，其应用潜力远不止于金融领域，未来可以推广应用于生物学、社会学、气候学等其他存在复杂相互作用的系统研究中。
